Question

【题目】设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn ， 满足an+1= ，n∈N* ， 且a2 ， a5 ， a14构成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若对一切正整数n都有 + +…+ ＜ ，求实数a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n≥2时，可得：4Sn= ﹣4n﹣1，4Sn﹣1= ﹣4（n﹣1）﹣1，

相减可得：4an=4Sn﹣4Sn﹣1= ﹣ ﹣4，化为： = ，∵an＞0，∴an+1=an+2，即an+1﹣an=2，

∴当n≥2时，数列{an}是公差为2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列．∴ =a2a14，

∴ =a2（a2+12×2），解得a2=3．

又n=1时，3=a2= ，解得a1=1．∴a2﹣a1=3﹣1=2．

∴数列{an}是公差为2的等差数列，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1

（2）解： = = ．

∴ + +…+ = +…+ = ．

由 ≤ ，a≥ ．

∴实数a的最小值为

【解析】（1）由Sn和an 的关系可求出数列{an}是公差为2的等差数列，再由已知可得a2，a5，a14构成等比数列，利用等比数列的定义可求出a2=3。根据已知递推公式可得a1=1，a2=3所以可求出公差d=2进而得到数列{an}是公差为2的等差数列。（2）根据（1）整理由裂项相消法求和得到代数式，由放缩法可得该式小于，进而得到a的最小值。