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设P是曲线C1上的任一点,Q是曲线C2上的任一点,称|PQ|的最小值为曲线C1与曲线C2的距离.
(1)求曲线C1:y=ex与直线C2:y=x-1的距离;
(2)设曲线C1:y=ex与直线C3:y=x-m(m∈R,m≥0)的距离为d1,直线C2:y=x-1与直线C3:y=x-m的距离为d2,求d1+d2的最小值.
分析:(1)在曲线C1上任取一点P(x,ex),由点到直线的距离公式求出点P(x,ex)到y=x-1的距离,然后构造函数f(x)=ex-x+1,利用导函数求其最小值;
(2)结合(1)中的过程可知,d1=
|m+1|
2
,由两条平行线间的距离公式得d2=
|m-1|
2
,作和后利用绝对值的不等式求最小值.
解答:解:(1)要求曲线C1与直线C2的距离,只需求曲线C1上的点到直线y=x-1距离的最小值.
设曲线C1上任意一点为P(x,ex),则点P(x,ex)到y=x-1的距离d=
|x-ex-1|
2
=
|ex-x+1|
2

令f(x)=ex-x+1,则f'(x)=ex-1,
由f'(x)=ex-1=0,得x=0.
所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)=ex-1>0
当x∈(-∞,0)时,f'(x)=ex-1<0.
故当x=0时,函数f(x)=ex-x+1取极小值,也就是最小值为f(0)=2,
所以d=
|ex-x+1|
2
取最小值
2
,故曲线C1与曲线C2的距离为
2
;   
(2)由(1)可知,曲线C1:y=ex与直线C3:y=x-m的距离d1=
|m+1|
2

由两条平行线间的距离公式得直线C2:y=x-1与直线C3:y=x-m的距离d2=
|m-1|
2

d1+d2=
|m+1|
2
+
|m-1|
2
=
1
2
(|m+1|+|m-1|)

1
2
|m+1-m+1|=
2

所以d1+d2的最小值为
2
点评:本题考查了点到直线的距离公式,考查了函数构造法,训练了利用导数求最值和利用绝对值不等式求最值,是中档题.
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