Question

某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示．据统计，随机变量ξ的概率分布如下：

ξ	0	1	2	3
P	0.1	a	2a	0.3

（1）求a的值和ξ的数学期望；
（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉3次的概率．

Answer 1

（1）解：由概率分布的性质有0.1+a+2a+0.3=1，解得a=0.2．
所以ξ的概率分布为

ξ	0	1	2	3
P	0.1	0.2	0.4	0.3

所以Eξ=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.3=1.9．
（2）解：设事件A表示“两个月内共被投诉3次”，
事件A₁表示“两个月内有一个月被投诉3次，另外一个月被投诉0次”，
事件A₂表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉1次”，
则由事件的独立性得，P（A₁）=C₂¹P（ξ=3）P（ξ=0）=2×0.3×0.1=0.06，
P（A₂）=C₂¹P（ξ=2）P（ξ=1）=2×0.4×0.2=0.16，
所以P（A）=P（A₁）+P（A₂）=0.06+0.16=0.22．
所以该企业在这两个月内共被消费者投诉3次的概率为0.22．
分析：（1）由概率分布的性质有0.1+a+2a+0.3=1，解得a=0.2．由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．
（2）设事件A表示“两个月内共被投诉3次”，事件A₁表示“两个月内有一个月被投诉3次，另外一个月被投诉0次”，事件A₂表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉1次”，由事件的独立性分别求出P（A₁）=0.06和P（A₂）=0.16，所以P（A）=P（A₁）+P（A₂）=0.06+0.16=0.22．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，体现了化归的重要思想，学会运用统筹思想解决概率的计算问题．