Question

（文）已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=-f（x），当-1≤x＜1时，f（x）=x³，则x∈[2，4]时y=f（x）的解析式是

 

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Answer 1

分析：依题意，易求y=f（x）是以4为周期的函数，利用-1≤x＜1时，f（x）=x³，分当1≤x＜3与3≤x＜5两段讨论即可求得x∈[2，4]时y=f（x）的解析式．

解答：解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f[（x+2）+2]=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
∴y=f（x）是以4为周期的函数；
又当-1≤x＜1时，f（x）=x³，
∴当1≤x＜3时，-1≤x-2＜1，
∴f（x）=-f（x-2）=-（x-2）³；
当3≤x＜5时，-1≤x-4＜1，又y=f（x）是以4为周期的函数，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）³，
∴当x∈[2，4]时y=f（x）的解析式是：
f（x）=

-(x-2)3，x∈[2，3) (x-4)3，x∈[3，4]

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故答案为：f（x）=

-(x-2)3，x∈[2，3) (x-4)3，x∈[3，4]

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点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的周期性与分段函数解析式的确定，考查分类讨论思想与转化运算能力，属于中档题．