Question

如图，半径是1且圆心角为120°的扇形中，点A、B是扇形的两个端点，线段PQ是一条平行于弦AB的动弦，以PQ为一边作该扇形的一个内接矩形MNQP，将矩形MNQP面积记为S．试确定当P点在什么位置时，S取得最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：要用三角函数解决问题，首先构造三角形即连接op，然后设出角∠AOP=θ，并过O作OH⊥MN于H，能推出H是MN的中点．然后在△OPM中，利用正弦定理得到MP，而MN=2HM，进而得到MN，利用三角形面积法求出S．利用三角函数变换公式得到正弦函数，最后求出正弦函数最大值即可．

解答：解：连接OP，设∠AOP=θ，则θ∈（0°，120°），
过点O作OH⊥MN于H，则H是MN的中点，（2分）
在△OMP中，由正弦定理有

MP

sinθ

=

MO

sin(60°-θ)

=

1

sin120°

所以MP=

2

3

sinθ①（5分）
OM=

2

3

sin(60°-θ)，
所以在直角△OMH中，HM=OMsin60°=sin（60°-θ）
所以MN=2HM=2sin（60°-θ）②（8分）
所以由①②得：S=

4

3

sinθsin(60°-θ)=2sinθcosθ-

2

3

sin2θ（10分）
=sin2θ-

3

3

(1-cos2θ)=sin2θ+

3

3

cos2θ-

3

3

=

2 3

3

sin(2θ+30°)-

3

3

（13分）
因为θ∈（0°，120°），所以当2θ+30°=90°，
即θ=30°时Smax=

3

3

，（15分）
即

AP

的长是

AB

的长的

1

4

时（或说成当∠AOP=30°时），
S取得最大值

3

3

．（16分）

点评：此题考查正弦函数最值问题，学生的构造能力及三角函数的变换能力，解决实际问题的能力．