Question

已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，

3

cosωx）且0＜ω＜2，函数f（x）=m•n，且f（

π

3

）=

3

2

．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=g（x）的图象向右平移

π

3

个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

4

，得到函数y=f（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其在[-

π

3

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=

m

•

n

可求得f（x）=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

，f（

π

3

）=

3

2

，可求得sin（

2πω

3

+

π

3

）=0，从而可求得ω；
（Ⅱ）依题意，转化为将y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，再将得到的y=sin（

x

2

+

π

3

）+

3

2

的图象向左平移

π

3

个单位得到函数g（x）的图象，从而得到g（x）的解析式，利用余弦函数的性质可求得其在[-

π

3

，

π

3

]上的值域．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=

m

•

n

=sinωxcosωx+

3

cos²ωx=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

，…3分
∵f（

π

3

）=

3

2

，则sin（

2πω

3

+

π

3

）=0，
∴

2πω

3

+

π

3

=kπ，k∈Z，
∴ω=

3

2

k-

1

2

，k∈Z，又0＜ω＜2，
∴k=1，故ω=1…6分
（Ⅱ）由题意知，将函数y=g（x）的图象向右平移

π

3

个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

4

，得到函数y=f（x）的图象?将y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，再将得到的y=sin（

x

2

+

π

3

）+

3

2

的图象向左平移

π

3

个单位得到函数g（x）的图象，因此g（x）=sin（

x

2

+

π

2

）+

3

2

=cos

x

2

+

3

2

，…9分
∵

x

2

∈[-

π

6

，

π

6

]，
∴

3

2

≤cos

x

2

≤1，
故g（x）在[-

π

3

，

π

3

]上的值域为[

3

，1+

3

2

]…12分

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查余弦函数的性质，是三角函数中的综合题，属于难题．