Question

设f（x）=ax+b（其中a，b为实数），f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n=1，2，3，…，若2a+b=-2，且f_k（x）=-243x+244，则k=________．

Answer 1

5
分析：首先由f（x）=ax+b，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），可以由代入法推出f_k（x），再有待定系数法和关系式2a+b=-2，求出a，b，k．即可得到答案．
解答：f（x）=ax+b（其中a，b为实数），f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n=1，2，3，…，
所以f₁（x）=ax+b．
f₂（x）=a（ax+b）+b=a²x+ab+b
f₃（x）=a（a²x+ab+b）=a³x+a²b+ab
…
f_k（x）=a^kx+a^k-1b+a^k-2b 又f_k（x）=-243x+244
所以有
所以解得k=5，a=-3，b=4．
故答案为5．
点评：首先此题主要考查函数关系式之间的问题，其中应用到待定系数和综合法的思想，计算量小但有一定的技巧性，需要同学们活学活用，灵活应用知识点．