Question

函数f（x）=（1+cosx）⁸+（1-cosx）⁸（x∈R）的最大值等于________．

Answer 1

256
分析：根据二项式定理，化简得出f（x）=2（C₈⁰+C₈²cos²x+C₈⁴cos⁴x+C₈⁶cos⁶x+c₈⁸cos⁸x），令cos²x=t 降次后，转化为关于t的四次函数，结合单调性求出最值．
解答：根据二项式定理，（1+cosx）⁸与（1-cosx）⁸展开式中，奇数项相等，偶数项互为相反数，
∴f（x）=2（C₈⁰+C₈²cos²x+C₈⁴cos⁴x+C₈⁶cos⁶x+c₈⁸cos⁸x），
令cos²x=t，则y=g（t）=2（C₈⁰+C₈²t+C₈⁴t²+C₈⁶t³+c₈⁸t⁴），
易知g（t）在t∈[0，1]上单调递增，
所以当t=1时，y取得最大值，y=2（C₈⁰+C₈²+C₈⁴+C₈⁶+c₈⁸）=2（1+28+70+28+1）=256．
故答案为：256．
点评：本题考查三角函数最值求解，二项式定理的应用．用到了换元法的函数的单调性．