Question

一个盒子装有标号为1，2，3，4，5，6且质地相同的标签各若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X，记P（X≤i）=P（X=1）+P（X=2）+…+P（X=i），i=1，2，…，6．若P(X≤i)=

i2+ai

42

（其中a为常数）
（1）求a的值以及随机变量X的数学期望EX；
（2）有放回地每次抽取1张标签，求得到两张标签上的标号之和为4的概率．

Answer 1

分析：（1）根据所给的随机变量的分布列，由分布列中各个概率之和是1，得到关于a的方程，解出a的值，根据所求的结果，仿写一个i-1的概率，两个相减，得到变量对应的概率，验证 当变量等于1时，也满足式子，得到分布列，求出期望值．
（2）有放回地每次抽取1张标签，得到两张标签上的标号之和为4，包括三种情况，即取到的数字是1，3；2，2；3，1，三个事件关系为互斥事件，且第一次与第二次的抽取相互独立，根据互斥事件和独立事件的概率得到结果．

解答：解：（1）∵P(X≤i)=

i2+ai

42

，
∴P（X≤6）=

62+6a

42

=1，
∴a=1，
∴P（X≤i）=

i2+i

42

，
当i≥2时，P（X=i）=P（X≤i）-P（X≤i-1）
=

i2+i

42

-

(i-1)2+(i-1)

42

=

i

21

，
当i=1时，验证也符合这个函数式，
总上可知P（X=i）=

i

21

，i=1，2，3，4，5，6，
∴EX=1×

1

21

+2×

2

21

+3×

3

21

+4×

4

21

+5×

5

21

+6×

6

25

=

13

3

（2）记第一次抽到1，第二次抽到3为事件A，
第一次抽到3，第二次抽到1为事件B，
第一次抽到2，第二次抽到2为事件C
三个事件关系为互斥事件，且第一次与第二次的抽取相互独立，
∴P（A）=P（X=1）P（X=3）=

3

441

P（B）=P（X=3）P（X=1）=

3

441

P（C）=P（X=2）P（X=2）=

4

441

∴要求的概率是P（A）+P（B）+P（C）=

3

441

+

3

441

+

4

441

=

10

441

即得到两张标签上的标号之和为4的概率为

10

441

点评：本题考查随机变量的分布列的概念，性质及其表示，考查互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，考查运算求解能力，是一个综合题目．