Question

实数a为何值时，圆x²+y²-2ax+a²-1=0与抛物线y2=

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x有两个公共点．

Answer 1

分析：利用圆x²+y²-2ax+a²-1=0与抛物线y2=

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x有两个公共点，联立方程，根据根的判别式，结合图象的变换，即可求a的值．

解答：解：由x²+y²-2ax+a²-1=0，可得标准方程为：（x-a）²+y²=1
由此可知，这是一个圆心在（a，0），半径恒为1的圆；参数a只影响圆心的位置，与半径大小无关．
当a=0时，该圆变成圆心在原点，半径为1的单位圆：x²+y²=1，其与抛物线y2=

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x当然会有两个交点．
将抛物线y2=

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x代入圆的方程，得：x²+（

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-2a）x+a²-1=0…（1）
令其判别式△=（

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-2a）²-4（a²-1）=0，得a=

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，此时圆与抛物线有两个公共点；
将圆心在x轴上向左移动到a=-1时，圆的方程变为（x+1）²+y²-1=x²+y²+2x=0
将y2=

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x代入得x（x+

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）=0，可知圆与抛物线有唯一的一个交点x=0，（x=-

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舍去，因为x=-

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不在抛物线的定义域内）．
综上，当-1＜a≤

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时，圆x²+y²-2ax+a²-1-0与抛物线y2=

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x有两个公共点．

点评：本题考查圆与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．