Question

某足球俱乐部和其他4支俱乐部进行足球联赛，它要与其他每支球队各赛一场，在4场的任意一场中，此俱乐部每次胜、负、平的概率相等．已知当这四场比赛结束后，该俱乐部胜场多于负场．
（Ⅰ）求该俱乐部胜场多于负场的所有可能的个数和；
（Ⅱ）若胜场次数为X，求出X的分布列并求X的数学期望．

Answer 1

分析：（I）分情况考虑，若胜一场，则其余为平，若胜两场，则其余两场有一负一平和两平两种情况，若胜三场，则其余一场有负和平两种情况，若胜四场，则只有一种情况，共有1，求出所求的可能个数；
（II）X可能取值为1、2、3、4，分别求出所对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式进行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）若胜一场，则其余为平，共有C₄¹=4，…（2分）
若胜两场，则其余两场有一负一平和两平两种情况，共有C₄²C₂¹+C₄²=18，…（4分）
若胜三场，则其余一场有负和平两种情况，共有C₄³×2=8，…（6分）
若胜四场，则只有一种情况，共有1，综上，共有31种情况．…（8分）
（Ⅱ）X可能取值为1，2，3，4，P(X=1)=

4

31

，P(x=2)=

18

31

，P(x=3)=

8

31

，P(x=4)=

1

31

，
所以分布列为．

X	1	2	3	4
P	4 31	18 31	8 31	1 31

…（10分）   E(X)=

68

31

…（12分）

点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及离散型随机变量及其分布列，属于基础题．