Question

4．如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=$\frac{π}{3}$，AD=4，AM=2，E是AB的中点
（1）求证：平面MDE⊥平面NDC
（2）求三棱锥N-MDC的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出DE⊥CD，ND⊥AD，从而ND⊥DE，进而DE⊥平面NDC，由此能证明平面MAE⊥平面NDC．
（2）由V_N-MDC=V_M-NDC=V_E-NDC，能求出三棱锥N-MDC的体积．

解答 证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AD=AB，
∵∠DAB=$\frac{π}{3}$，∴△ABD为等边三角形，
E为AB中点，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，
∵ADMN是矩形，∴ND⊥AD，
又平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，
∴ND⊥平面ABCD，∴ND⊥DE，
∵CD∩ND=D，∴DE⊥平面NDC，
∵DE?平面MDE，∴平面MAE⊥平面NDC．
解：（2）∵MA∥ND，∴MA∥平面NDC，∴ME∥平面NDC，
∴平面MAE⊥平面NDC，∴ME∥平面NDC，
∴V_N-MDC=V_M-NDC=V_E-NDC，
由（1）知DE⊥AB，∠DAE=$\frac{π}{3}$，
∵DA=4，AE=2，∴DE=2$\sqrt{3}$，
∴三棱锥N-MDC的体积V_N-MDC=V_M-NDC=V_E-NDC=$\frac{1}{3}{S}_{△NDC}•DE$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．