Question

（本小题12分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于．两点。

   （1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题。

   （2）写出（1）中命题的逆命题（直线与抛物线相交于．两点为大前提），判断它是真命题还是假命题，如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例说明。

Answer 1

证明：（1）设过点的直线交抛物线于点，，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与抛物线相交于，。----------------2分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中

由得-------------------4分

又   

综上，“直线与抛物线相交于．两点，如果直线过点，那么”是真命题。---------------------6分（注，如果设）

（2） （1）中命题的逆命题是：“直线交抛物线于．两点，如果，那么直线过点”--------------------8分

该命题是个假命题。-----------------------9分

例如：取抛物线上的点，直线AB的方程为，而点（3，0）不在直线AB上。--------------------12分