Question

给出两条直线l₁和l₂,斜率存在且不为0,如果满足斜率互为相反数,且在y轴上的截距相等,那么直线l₁和l₂叫做“孪生直线”.

(1)现在给出4条直线的参数方程如下:

l₁:(t为参数);

l₂:(t为参数);

l₃:(t为参数);

l₄:(t为参数).

其中构成“孪生直线”的是__________________.

(2)给出由参数方程表示的直线l₁:(t为参数),直线l₂:(t为参数),

那么,根据定义,直线l₁、直线l₂构成“孪生直线”的条件是_______________.

Answer 1

思路解析：根据条件,两条直线构成“孪生直线”意味着它的斜率存在不为0,互为相反数,且在y轴的截距相等,也就是在y轴上交于同一点.对于题(1),首先可以判断出其斜率分别为-1,1,-1,1,斜率互为相反数条件很明显,再判断在y轴上的截距.令x=0得出相应的t值,代入y可得只有直线l₁和直线l₄在y轴上的截距相等,而其斜率又恰好相反,可以构成“孪生直线”.对于题(2)首先写出相应斜率分别是tanα₁和tanα₂,因此要tanα₁=-tanα₂,即tanα₁+tanα₂=0；然后再考虑在y轴上的截距,首先在l₁的参数方程中,令x=x₁+tcosα₁=0,可得t=,代入得y=y₁-x₁tanα₁.同理可得直线l₂在y轴上的截距是y=y₂-x₂tanα₂.由定义中的条件“截距相等”可得y₁-x₁tanα₁=y₂-x₂tanα₂,即y₁-y₂=x₁tanα₁-x₂tanα₂.

如果把tanα₁=-tanα₂代入式子还可以进一步得到y₁-y₂=x₁tanα₁+x₂tanα₁,即y₁-y₂=(x₁+x₂)tanα₁.

答案：（1）直线l₁和直线l₄

（2）tanα₁+tanα₂=0且y₁-y₂=x₁tanα₁-x₂tanα₂〔也可以写出y₁-y₂=(x₁+x₂)tanα₁〕.