Question

已知

π

2

＜α＜

3

4

π，tanα+cotα=-

10

3

，则sin(α+

π

4

)=

-

10

5

．

Answer 1

分析：根据同角三角函数的关系化简已知等式，得到sinαcosα=-

3

10

，从而（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

2

5

，结合α的范围解出sinα+cosα=-

2 5

5

，再由两角和的正弦公式即可得到sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=-

10

5

．

解答：解：∵tanα+cotα=-

10

3

∴

sinα

cosα

+

cosα

sinα

=-

10

3

，可得

sin2α+cos2α

sinαcosα

=

1

sinαcosα

=-

10

3

因此，sinαcosα=-

3

10

∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

2

5

，
∵

π

2

＜α＜

3π

4

，可得sinα+cosα＜0
∴sinα+cosα=-

2 5

5

，
可得sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=

2

2

×（-

2 5

5

）=-

10

5

故答案为：-

10

5

点评：本题给出三角函数等式，求sin（α+

π

4

）的值．着重考查了两角和的正弦公式和同角三角函数的关系等知识，属于中档题．