Question

下面给出的四个命题中：
①对任意的n∈N*，点P_n（n，a_n）都在直线y=2x+1上是数列a_n为等差数列的充分不必要条件；
②“m=-2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）与坐标轴有4个交点A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），则有x₁x₂-y₁y₂=0；
④将函数y=cos2x的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=sin(2x-

π

6

)的图象．
其中是真命题的有

 

（将你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

分析：利用等差数列通项公式的形式判断出①对；利用两直线垂直的充要条件判断出②不正确，利用韦达定理判断出③正确；利用图象的平移变换及三角函数的诱导公式判断出④正确．

解答：解：对于①，∵点P_n（n，a_n）都在直线y=2x+1上∴数列a_n为等差数列但反之不成立．故①对
对于②，∵直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直的充要条件是
（m+2）（m-2）+m（m+2）=0即m=-2或m=1
所以②“m=-2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”充分不必要条件；
故②不正确
对于③，令y=0得x²+Dx+F=0∴x₁x₂=-F同理y₁y₂=-F所以x₁x₂-y₁y₂=0，故③正确
对于④，将函数y=cos2x的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=cos2(x-

π

3

)=sin(2x-

π

6

)，故④正确
故答案为①③④

点评：在解决图象的平移变换时，一定要注意左右平移的单位是自变量x本身上变换的值的绝对值．