Question

0＜a＜1，0＜b＜1且a^b=b^a，试比较a与b的大小．

Answer 1

分析：分a＞b、a＜b、及a=b三种情况讨论，a＞b＜时，等式两边同时除以 b^b后分析等式两边能否相等；
a＜b时，等式两边同时除以 a^a后分析等式两边能否相等．

解答：解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，且a^b=b^a，∴

a

b

＞1，
当a＞b时应有(

a

b

)b=b^a-b，此等式的左边大于1，右边大于0且小于1，故此等式不成立，
故a＞b不可能．
当a＜b时，

b

a

＞1，由条件得 a^b-a=(

b

a

)a，此等式的左边大于0且小于1，
右边大于1，故此等式不成立，故a＜b不可能．
当a=b时，a^b=b^a 恒成立，
综上，只有a=b．

点评：本题考查利用指数函数的单调性及特殊点，比较2个实数大小的方法，体现了分类讨论的数学思想．