如图.已知半径为1的⊙O1与x轴交于A.B两点.OM为⊙O1的切线.切点为M.且M在第一象限.圆心O1的坐标为(2.0).二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A.B两点．(1)求二次函数的解析式,(2)求切线OM的函数解析式,(3)线段OM上是否存在一点P.使得以P.O.A为顶点的三角形与△OO1M相似．若存在.请求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知半径为1的⊙O₁与x轴交于A，B两点，OM为⊙O₁的切线，切点为M，且M在第一象限，圆心O₁的坐标为（2，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A，B两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线OM的函数解析式；
（3）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO₁M相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）先求出A，B两点坐标，代入函数解析式，可构造关于b，c的方程，解方程可得b，c的值，进而得到二次函数的解析式；
（2）根据圆心切线OM的距离等于半径构造方程，可求出切线的斜率，进而得到切线OM的函数解析式
（3）线段OM上存在一点P，此时所得三角形必要直角三角形，故过点A作AP₁⊥x轴，与OM交于点P₁，过点A作AP₂⊥OM，垂足为P₂，均满足要求．

解答：解：（1）∵圆心O₁的坐标为（2，0），⊙O₁半径为1，
∴A（1，0），B（3，0）…（1分）
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A，B，
∴可得方程组

-1+b+c=0

-9+3b+c=0

…（2分）
解得：

b=4

c=-3

∴二次函数解析式为y=-x²+4x-3 …（4分）
（2）由题意易知所求直线的斜率存在且大于0，
设切线OM为y=kx，（k＞0）
由点到直线的距离d=r，可得

|2k|

k2+1

=1 …（6分）
解得k=

或k=-

（舍去）
∴切线OM的函数解析式为y=

x…（8分）
（3）存在．
①过点A作AP₁⊥x轴，与OM交于点P₁．
可得Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O
则由

x=1

，解得

x=1

∴点P₁的坐标为（1，

） …（11分）
②过点A作AP₂⊥OM，垂足为P₂，可得Rt△AP₂O∽Rt△O₁MO
则由

-1

kOM

(x-1)

，解得

∴P₂点的坐标为（

，

）
∴符合条件的P点坐标有（1，

），（

，

） …（14分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的解析式，直线与圆的位置关系，三角形相似，直线的交点等问题，是解析几何的综合应用，难度不大，属于中档题．

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