Question

关于x的方程e^xlnx=1的实根个数是______．

Answer 1

∵方程e^xlnx=1，
∴令f（x）=e^xlnx-1，
∴f′（x）=e^xlnx+

ex

x

=e^x（lnx+

1

x

），
∴令f′（x）=0，可得e^x（lnx+

1

x

）=

xlnx+1

x

=0，
∴xlnx+1=0，
令g（x）=xlnx+1，
∴g′（x）=lnx+1=0，
解得x=

1

e

，
当x＞

1

e

时 g（x）为增函数，
当x＜

1

e

时，g（x）为减函数，
∴g（x）的极小值也是最小值为g（

1

e

）=-

1

e

+1＞0，
∴f（x）为单调增函数，
f（

1

e

）=e

1

e

×（-1）-1＜0，
∴方程e^xlnx=1的实根个数是1个，
故答案为1．