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如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF.
(1)求证:A1F⊥C1E;
(2)当A1、E、F、C1共面时,求:
①D1到直线C1E的距离;
②面A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值.

【答案】分析:(1)以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,我们易给出正方体中各个点的坐标,进而求出向量坐标,代入向量数量积公式,易得,即A1F⊥C1E;
(2)①在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥C1D1,则△BC1D1与△EC1D1面积相待,故D1到直线C1E的距离h满足,代入即可得到答案;
②我们求出面A1DE与面C1DF的法向量,求出两个向量夹角的余弦的绝对值,即可得到答案.
解答:解:(1)以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A1(6,0,6)、C1(0,6,6),设AE=m,则E(6,m,0),F(6-m,6,0),
从而

所以A1F⊥C1E(4分).
(2)①当A1、E、F、C1共面时,
因为底面ABCD∥A1B1C1D1
所以A1C1∥EF,
所以EF∥AC,
从而E、F分别是AB、BC的中点(7分),
设D1到直线C1E的距离为h,
在△C1D1E中,

解得(7分).
②由①得,E(6,3,0)、F(3,6,0),
设平面A1DE的一个法向量为
依题意
所以
同理平面C1DF的一个法向量为
由图知,面A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值

点评:本题考查的知识点是向量语言表述线线的垂直、平行关系,点、线、面间的距离计算、用空间向量求平面间的夹角,其中建立空间坐标系,将总是转化为一个向量计算问题是解答本题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF.
(1)求证:A1F⊥C1E;
(2)当A1、E、F、C1共面时,求:
①D1到直线C1E的距离;
②面A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值.

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如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的是
①②④
①②④
.(把你认为正确的结论都填上)
①BD∥平面CB1D1
②AC1⊥平面CB1D1
③AC1与底面ABCD所成角的正切值是
2

④二面角C-B1D1-C1的正切值是
2

⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条.

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如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的结论是
①②
①②
.(把你认为正确的结论都填上)
①BD∥平面CB1D1
②AC1⊥平面CB1D1
③过点A1与异面直线AD和CB1成90°角的直线有2条.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,点O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,对下列结论,错误的是(    )

A.A、M、O三点共线                      B.A、M、O、A1四点共面

C.A、O、C、M四点共面                 D.B、B1、O、M四点共面

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