Question

数列{a_n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S_n，且S₉=135，a₃，a₄，a₁₂成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，使仍为数列{a_n}中的一项？若存在，求出满足要求的所有正整数m；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设a_n的公差为d≠0，则，∴a₁+4d=15①
又∵a₃，a₄，a₁₂成等比数列，∴a₄²=a₃•a₁₂，即（a₁+3d）²=（a₁+2d）（a₁+11d），
化简，得13d+7a₁=0②
由①②，得：d=7，a₁=-13，∴a_n=a₁+（n-1）d=7n-20．（6分）
（Ⅱ）由于a_m=a_m+1-d，a_m+2=a_m+1+d，∴，
设，则，
即，由于k、m为正整数，所以7必须能被7m-13整除，
∴7m-13=1，-1，7，-7，∴m=2，k=10，
故存在唯一的正整数m=2，使仍为a_n中的一项．（12分）
分析：（1）由数列{a_n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S_n，且S₉=135，a₃，a₄，a₁₂成等比数列，根据等差数列前n项和公式及等比数列的性质，我们易构造一个关于数列基本项（首项与公差）的方程组，解方程组，求出基本项，进而即可得到数列的通项公式．
（2）由（1）中结论，我们对进行化简，然后判断是否存在整数，使其满足数列的通项公式，若存在，即可得到满足题目的答案．
点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据已知条件，结合等差数列前n项和公式及等比数列的性质，构造一个关于数列基本项（首项与公差）的方程组，是解答本题的关键．