Question

如图是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA₁=3，AB=2，若N为棱AB中点．
（1）求证：AC₁∥平面CNB₁；
（2）求四棱锥C₁-ANB₁A₁的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接BC₁和CB₁交于O点，连ON．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴O为BC₁的中点．又N为棱AB中点，
∴在△ABC₁中，NO∥AC₁，
又NO?平面NB₁C，AC₁不属于平面NB₁C，
∴AC₁∥平面NB₁C；（6分）

（Ⅱ）∵ANB₁A₁是直角梯形，AN=1，A₁B₁=2，AA₁=3，∴四边形ANB₁A₁面积为，
∵CN⊥平面ANB₁A₁，∴四棱锥C-ANB₁A₁的体积为．（13分）
分析：（1）要证：AC₁∥平面CNB₁，先在平面CNB₁内作出直线NO，O为BC₁的中点，证明NO∥AC₁，即可．
（2）求四棱锥C₁-ANB₁A₁的体积．需要先求底面面积，再求高CN，然后求出体积．
点评：本题考查直线和平面的平行的判断，考查棱锥的体积，空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．