Question

如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点．
（1）求证：C′E∥面AB′D′；
（2）求面AB'D'与面ABD所成锐二面角的余弦值；
（3）求四棱锥B'-ABCD与D'-ABCD的公共部分体积．

Answer 1

分析：（1）取B'D'的中点为F，连AF，C′F，根据三角形中位线定理，可得AFC′F为平行四边形，进而AF∥C'E，由线面平行的判定定理即可得到C′E∥面AB′D′；
（2）取BC中点为G，易得AD，DG，DD’相互垂直，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出面ADD'的法向量和面ABD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案；
（3）设B’D与BD的交点为O，由图得四棱锥B'-ABCD与D'-ABCD的公共部分为四棱锥O-ABCD，分别求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：证明：（1）如图取B'D'的中点为F，连AF，C′F，
易得AFC′F为平行四边形．
∴AF∥C'E，
又AF?平面AB′D′，
∴C′E∥面AB′D′..（4分）
解：（2）因ABCD为菱形，且∠DCB=60°，取BC中点为G
易得AD，DG，DD’相互垂直，故分别以之为x，y，z轴建立坐标系如图．
由棱长为2得A(2，0，0)，B′(1，

3

，2)，D′(0，0，2)
进而得面ADD'的一个法向量为(1，-

3

3

，1)，又面ABD的法向量为（0，0，1）
所以面AB'D'与面ABD所成锐二面角的余弦值
cosθ=

(1，- 3 3 ，1)•(0，0，1)

21 3

=

21

7

（3）设B’D与BD的交点为O，
由图得四棱锥B'-ABCD与D'-ABCD的公共部分为四棱锥O-ABCD，
且O到下底面的距离为1，
SABCD=2×

1

2

×2×2sin600=2

3

所以公共部分的体积为

1

3

×2

3

×1=

2 3

3

．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，（1）的关键是证得AF∥C'E，（2）的关键是求出面ADD'的法向量和面ABD的法向量，（3）的关键是确定四棱锥B'-ABCD与D'-ABCD的公共部分为四棱锥O-ABCD．