Question

已知函数g（x）=是奇函数，f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）设h（x）=f（x）+x，若g（x）＞h[log₄（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．
（3）若对任意的t∈R，不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据定义在R上奇函数满足g（0）=0，解出n=1，再根据f（-x）=f（x），化简整理得到m=-，由此可得m+n的值；
（2）由（1）得h（x）=log₄（4^x+1），从而h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），根据g（x）在区间[1，+∞）上是增函数，得g（x）_min=g（1）=，可建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围；
（3）根据g（x）是定义在R上的奇函数且是增函数，将原不等式转化为t²-2t＞-2t²+k对一切t∈R恒成立，再结合一元二次不等式恒成立的条件，列出关于k的不等式，解之可得k的取值范围．
解答：解：（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即=0，解之得n=1，…（2分）
由于f（x）=log₄（4^x+1）+mx，
∴f（-x）=log₄（4^-x+1）-mx=log₄（4^x+1）-（m+1）x，
∵f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得到m=-，由此可得：m+n的值为；…（4分）
（2）∵h（x）=f（x）+x=log₄（4^x+1），∴h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），…（6分）
又∵g（x）==2^x-2^-x在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x≥1时，g（x）_min=g（1）=…（8分）
由题意得到，解之得-＜a＜3，得a的取值范围是：（-，3）．…（9分）
（3）g（x）=2^x-2^-x在区间（-∞，+∞）上是增函数，
又∵g（-x）=-g（x），得g（x）是奇函数，
∴不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0等价于g（t²-2t）＞-g（2t²-k）=g（-2t²+k）…（10分）
由g（x）在R上是增函数得，t²-2t＞-2t²+k对一切t∈R恒成立，…（12分）
即3t²-2t-k＞0对一切t∈R恒成立，，所以△=4+12k＜0，解之得k…（14分）
点评：本题给出含有指数和对数的函数，讨论函数的奇偶性、单调性并解决关于x的不等式恒成立的问题，着重考查了基本初等函数的图象与性质和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．