Question

已知F为抛物线x²=ay（a＞0）的焦点，O为坐标原点．点M为抛物线上的任一点，过点M作抛物线的切线交x轴于点N，设k₁，k₂分别为直线MO与直线NF的斜率，则k₁k₂=

-

1

2

．

Answer 1

分析：如图所示，设M(x0，

x 2 0

a

)，利用导数的运算法则可得y′=

2x

a

，利用导数的聚会意义可得切线的斜率为

2x0

a

．利用点斜式可得过点M的抛物线的切线方程，令y=0得点N的横坐标，利用向量计算公式可得k₂=k_NF，k₁=k_MO．即可得出k₁k₂．

解答：解：如图所示，设M(x0，

x 2 0

a

)，
∵y′=

2x

a

，∴切线的斜率为

2x0

a

．
则过点M的抛物线的切线方程为：y=

2 x   0

a

(x-x0)+

x 2 0

a

，
令y=0得：xN=

1

2

x0，
可得N(

x0

2

，0)，F(0，

a

4

)，
∴k2=kNF=-

a

2x0

，
又k1=kMO=

x 2 0 a

x0

=

x0

a

，
故k1k2=-

1

2

，
故答案为-

1

2

．

点评：本题考查了直线与抛物线相切的位置关系、切线的方程、斜率的计算公式、导数的几何意义等基础知识与基本技能方法，属于中档题．