Question

设两个命题：p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=-（4-2a）^x在（-∞，+∞）上是减函数，若命题p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围是多少？

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：根据一元二次不等式的解和判别式△的关系，及指数函数的单调性即可求出命题p，q下的a的取值范围，由p∨q为真，p∧q为假知p，q一真一假，所以分成p真q假，p假q真两种情况，分别求出a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：p：△=4a²-16＜0，解得-2＜a＜2；
q：首先4-2a＞0，∴a＜2；
函数f（x）=-（4-2a）^x在（-∞，+∞）上是减函数，则4-2a＞1，∴a＜

3

2

；
若命题p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假；
若p真q假，则：

-2＜a＜2 3 2 ≤a＜2

，∴

3

2

≤a＜2；
若p假q真，则：

a≤-2，或a≥2 a＜ 3 2

，∴a≤-2；
综上得a的取值范围是[

3

2

，2)∪(-∞，-2]．

点评：考查一元二次不等式的解和判别式△的关系，指数函数的单调性，p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．