Question

已知S_n是公差为d≠0的等差数列{a_n}的前n项和，{b_n}是公比为1-d的等比数列，若b₁=a₁，b₂=a₁a₂，b₃=a₂a₃，则

lim

n→∞

Sn

a 2 n

=

 

．

Answer 1

分析：利用等差数列的定义和性质，以及等比数列的定义和性质，求出d 和 a₁ 的值，求得a_n 和S_n 的值，利用数列极限的运算法则求出

lim

n→∞

Sn

a 2 n

 的值．

解答：解：由等比数列的定义可得

b2

b1

= 

b3

b2

=  1-d，即a₂=

a3

a1

=1-d，∴a₁+d=1-d，
∴a₁=1-2d，a₃=2d²-3d+1，∴2（1-d）=（1-2d ）+（2d²-3d+1），∴d=

3

2

，a₁=-2，
∴a_n=-2+（n-1）

3

2

=

3

2

n-

7

2

，a_n²=

9n2-42n+49

4

，
S_n =na₁ +

n(n-1)d

2

=

3n2-11n

4

，
∴

lim

n→∞

Sn

a n 2

=

lim

n→∞

3n2-11n

9n2-42n+49

=

lim

n→∞

3- 11 n

9- 42 n + 49 n2

=

3-0

9-0+0

=

1

3

，
答案为

1

3

．

点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，求出d和a₁的值，求得a_n 和S_n 的值，利用数列极限的运算法则求出

lim

n→∞

Sn

a 2 n

 的值．