Question

3．已知函数f（x）=x|x+m|-4，m∈R
（1）若g（x）=f（x）+4为奇函数，求实数m的值；
（2）当m=-3时，求函数f（x）在x∈[2，4]上的值域；
（3）若f（x）＜0对x∈（0，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简g（x）=f（x）+4=x|x+m|，从而可得-x|-x+m|=-x|x+m|，化简可得mx=0对x∈R恒成立，从而解得；
（2）当m=-3时，化简$y=f（x）=x|x-3|-4=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-3x-4，x∈[3，4]}\\{-{x^2}+3x-4，x∈[2，3）}\end{array}}\right.$，从而利用分段函数的求值域；
（3）化简可得x|x+m|-4＜0，从而可得$-\frac{4}{x}＜x+m＜\frac{4}{x}$，令$h（x）=-（x+\frac{4}{x}）$，则h（x）在（0，1]上是增函数，再令$t（x）=\frac{4}{x}-x$，则t（x）在（0，1]上是减函数，从而求最值，从而解得．

解答 解：（1）g（x）=f（x）+4=x|x+m|，
∵函数g（x）为奇函数，∴g（-x）=-g（x）
∴-x|-x+m|=-x|x+m|，
即x（|x+m|-|x-m|）=0对x∈R恒成立，
∴|x+m|-|x-m|=0对x∈R恒成立，
即（x+m）²=（x-m）²对x∈R恒成立，
即mx=0对x∈R恒成立，
∴m=0；
（2）当m=-3时，
$y=f（x）=x|x-3|-4=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-3x-4，x∈[3，4]}\\{-{x^2}+3x-4，x∈[2，3）}\end{array}}\right.$，
当x∈[3，4]时，y=x²-3x-4在[3，4]上为增函数，
∴y∈[-4，0]；
当x∈[2，3）时，y=-x²+3x-4在[2，3）上为减函数，
∴y∈（-4，-2]；
∴函数f（x）在x∈[2，4]上的值域[-4，0]∪（-4，-2]=[-4，0]；
（3）f（x）＜0即为x|x+m|-4＜0，
∵x∈（0，1]，∴$|x+m|＜\frac{4}{x}$，
即$-\frac{4}{x}＜x+m＜\frac{4}{x}$，
即$-（x+\frac{4}{x}）＜m＜\frac{4}{x}-x$对x∈（0，1]恒成立，
令$h（x）=-（x+\frac{4}{x}）$，则h（x）在（0，1]上是增函数，
∴h（x）_max=h（1）=-5，
∴m＞-5；
再令$t（x）=\frac{4}{x}-x$，则t（x）在（0，1]上是减函数，
∴t（x）_min=t（1）=3，
∴m＜3，
综上，实数m的取值范围是-5＜m＜3．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了恒成立问题及最值问题．