Question

已知直线（2lna）x+by+1=0与曲线x²+y²-2x+2y+1=0交于A、B两点，当|AB|=2时，点P（a，b）到直线2x-y+4=0距离的最小值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：由曲线（x-1）²+（y+1）²=1是圆心坐标为（1，-1），半径为1的圆，直线（2lna）x+by+1=0与曲线x²+y²-2x+2y+1=0交于A、B两点，|AB|=2，知直线（2lna）x+by+1=0过圆心（1，-1），故b=1+2lna．P（a，b）到直线2x-y+4=0距离d==，设f（a）=2a+3-2lna，利用导数能求出P（a，b）到直线2x-y+4=0距离最小值．
解答：解：∵曲线x²+y²-2x+2y+1=0，
∴曲线（x-1）²+（y+1）²=1是圆心坐标为（1，-1），半径为1的圆，
∵直线（2lna）x+by+1=0与曲线x²+y²-2x+2y+1=0交于A、B两点，|AB|=2，
∴直线（2lna）x+by+1=0过圆心（1，-1），
∴2lna-b+1=0．
∴b=1+2lna，
P（a，b）到直线2x-y+4=0距离
d==，
设f（a）=2a+3-2lna，
f′（a）=2-，
令f′（a）=0，得a=1．
∴＜a＜1，f′（a）＜0，f（a）递减，a＞1，f′（a）＞0，f（a）递增，
∴f（a）_min=f（1）=5，
∴d_min==，
∴a=1时，P（a，b）到直线2x-y+4=0距离最小值为．
故答案为：．
点评：本题考查点到直线的距离的最小值的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质、距离公式、导数性质、直线方程等知识点的合理运用．