Question

在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标（x，y）满足x²+y²≤4，从区域W中随机取点M（x，y）；
（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，令ξ=x²+y²，求ξ的分布列与数学期望；
（Ⅱ）已知直线l：y=-x+b（b＞0）与圆x²+y²=4相交所截得的弦长为2，求y≥-x+b的概率．

Answer 1

解：（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，则点M的个数共有21个，
列举如下：（-2，0），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（0，-2），（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，-1），（1，0），（1，1），（2，0）．
∴p（ξ=0）=，p（ξ=1）=，p（ξ=2）=，p（ξ=4）=，
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	4
P

∴Eξ=．
（Ⅱ）由已知可知区域W的面积是4π．
直线l：y=-x+b（b＞0）与圆x²+y²=4相交所截得的弦长为2，

如图，可求得扇形的圆心角为 ，
所以扇形的面积为 ，
则满足y≥-x+b的点M构成的区域的面积为，所以y≥-x+b的概率为．
分析：（I）先一一列举出平面区域W中的整点的个数，再看看在第四象限的有多少个点，最后利用概率公式计算即得；
（II）因满足：“y≥-x+b”的平面区域是一个弓形区域，欲求y≥-x+b的概率，只须求出弓形区域的面积与圆的面积之比即可．
点评：本题主要考查了古典概型和几何概型，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．