Question

如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知该四棱锥底面边长是2m，高是

7

m，
（1）求侧棱与底面所成角；
（2）求制造这个塔顶需要多少铁板？

Answer 1

分析：（1）正四棱锥S-ABCD中，连结AC和BD交于O，连接SO．可得SO⊥ABCD，∠SAO就是侧棱SA与底面ABCD内的所成角．
Rt△SOA中利用三角函数的定义，结合题中数据算出tan∠SAO=

14

2

，即得侧棱与底面所成角等于arctan

14

2

；
（2）作SP⊥AB于P，连接OP．Rt△SOP中，算出SP=2

2

（m），可得△SAB的面积S=2

2

（m²）．由此即可得到正四棱锥的侧面积，从而得到制造这个塔顶需要铁板的面积．

解答：解：（1）如图所示，设正四棱锥S-ABCD中，连结AC和BD交于O，连接SO．
∵SO⊥ABCD，可得OA是侧棱SA在底面ABCD内的射影
∴∠SAO就是侧棱SA与底面ABCD内的所成角
Rt△SOA中，SO=

7

m，AO=

2

2

AB=

2

m
∴tan∠SAO=

SO

AO

=

14

2

因此，∠SAO=arctan

14

2

，即侧棱与底面所成角等于arctan

14

2

；
（2）作SP⊥AB于P，连接OP．
∵在Rt△SOP中，SO=

7

（m），OP=

1

2

BC=1（m），
∴SP=

SO2+OP2

=2

2

（m），
则△SAB的面积S=

1

2

×AB×SP=

1

2

×2×2

2

=2

2

（m²）．
∴四棱锥的侧面积是4×2

2

=8

2

（m²），
即制造这个塔顶需要8

2

m²铁板．

点评：本题给出正四棱锥，求侧棱与底面所成角，并求制造这个塔顶需要铁板的面积．着重考查了正四棱锥的定义与性质、直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．