Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=|a_n-1|（n∈N^*）
（1）若a1=

5

4

，求a_n；
（2）若a₁=a∈（k，k+1），（k∈N^*），求{a_n}的前3k项的和S_3k（用k，a表示）

Answer 1

分析：（1）把a1=

5

4

代入a_n+1=|a_n-1|分别求得a₂，a₃，a₄，推断出n≥2数列中偶数项为

1

4

，奇数项为

3

4

，进而推断出数列的通项公式．
（2）根据a₁=a可分别求得a₂和a₃，同理可求得a_k+1，a_k+2，a_k+3，a_k+4进而求得a_3k和a_3k-1最后相加，利用等差数列的求和公式求得答案．

解答：解：（1）a1=

5

4

，a2=

1

4

，a3=

3

4

，a4=

1

4

，
∴a1=

5

4

，n≥2时，an=

1 4 ，n=2k 3 4 ，n=2k+1

，其中k∈N^*

（2）当a₁=a∈（k，k+1），（k∈N^*）时，
易知a₂=a-1，
a₃=a-2a_k=a-（k-1）；
a_k+1=a-k∈（0，1）；
a_k+2=1-a_k+1=k+1-a；
a_k+3=1-a_k+2=a-k；
a_k+4=1-a_k+3=k+1-a
a_3k-1=a-k，
a_3k=k+1-a；
S_3k=a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+2+a_k+3+a_k+4+…+a_3k-1+a_3k
=a+（a-1）+（a-2）+…+a-（k-1）+k
=ka+k-

1+k-1

2

(k-1)
=-

k2

2

+k(a+

3

2

)

点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了学生推理分析和基本的运算能力．