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    对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．对正整数k，规定 {△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an）．
    （Ⅰ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n，求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{an}，若数列{bn}是等差数列，使得b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=an对一切正整数n∈N*都成立，求bn；
    （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令cn=（2n-1）bn，设Tn=
    c1
    a1
    +
    c2
    a2
    +
    c3
    a3
    +…+
    cn
    an
    ，若Tn＜m成立，求最小正整数m的值．
    （Ⅰ）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，
    得△an-an=2n，
    ∴an+1-2an=2n，
    ∴
    an+1
    2n+1
    -
    an
    2n
    =
    1
    2
    ，---------------（2分）
    ∴数列{
    an
    2n
    }    是首项为
    1
    2
    ，公差为
    1
    2
    的等差数列，
    ∴
    an
    2n
    =
    1
    2
    +(n-1)×
    1
    2
    ，
    ∴an=n•2n-1．--------（4分）
    （Ⅱ）∵b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=an，
    ∴b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=n•2n-1．
    ∵kCnk=nCn-1k-1，
    ∴
    C1n
    +2
    C2n
    +3
    C3n
    +…+(n-1)
    Cn-1n
    +n
    Cnn
    =n
    C0n-1
    +n
    C1n-1
    +n
    C2n-1
    +…+n
    Cn-1n-1
    =n(
    C0n-1
    +
    C1n-1
    +
    C2n-1
    +…+
    Cn-1n-1
    )=n•2n-1.

    ∴bn=n．------------（9分）
    （Ⅲ）由（Ⅱ）得  
    Tn=
    1
    1
    +
    3
    2
    +
    5
    22
    +…+
    2n-1
    2n-1
    ，①
      
    1
    2
    Tn=
    1
    2
    +
    3
    22
    +
    5
    23
    +…+
    2n-1
    2n
    ，②
    ①-②得 
    1
    2
    Tn=1+1+
    1
    2
    +
    1
    22
    +
    1
    23
    +…+
    1
    2n-2
    -
    2n-1
    2n
    =3-
    1
    2n-2
    -
    2n-1
    2n
    ，
    ∴Tn=6-
    1
    2n-3
    -
    2n-1
    2n-1
    ＜6，----------（10分）
    又Tn=
    1
    1
    +
    3
    2
    +
    5
    22
    +…+
    2n-1
    2n-1
    ，
    ∴Tn+1-Tn＞0，
    ∴{Tn}是递增数列，且T6=6-
    1
    23
    -
    11
    25
    ＞5，
    ∴满足条件的最小正整数m的值为6．--------（13分）
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    8、对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N）．对自然数k，规定{△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an）．
    （1）已知数列{an}的通项公式an=n2+n（n∈N），，试判断{△an}，{△2an}是否为等差或等比数列，为什么？
    （2）若数列{an}首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N），求数列{an}的通项公式．
    （3）（理）对（2）中数列{an}，是否存在等差数列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=an对一切自然n∈N都成立？若存在，求数列{bn}的通项公式；若不存在，则请说明理由．

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    对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，规定{△kan} 为数列{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an（k∈N*，k≥2）．已知数列{an}的通项公式an=n2+n（n∈N*），则以下结论正确的序号为
    ①④
    ①④
    ．
    ①△an=2n+2；       
    ②数列{△3an}既是等差数列，又是等比数列；
    ③数列{△an}的前n项之和为an=n2+n；   
    ④{△2an}的前2014项之和为4028．

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    对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an（k∈N*，k≥2）．已知数列{an}的通项公式an=n2+n（n∈N*），则以下结论正确的序号为
    ①④
    ①④
    ．
    ①△an=2n+24；       
    ②数列{△3an}既是等差数列，又是等比数列；
    ③数列{△an}的前n项之和为an=n2+n；   
    ④{△2an}的前2014项之和为4028．

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    对数列{an}，规定{Van}为数列{an}的一阶差分数列，其中Van=an+1-an（n∈N*）．对正整数k，规定{Vkan}为{an}的k阶差分数列，其中Vkan=Vk-1an+1-Vk-1an=V（VK-1an）（规定V0an=an）．
    （Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=n2+n（n∈N*），是判断{Van}是否为等差数列，并说明理由；
    （Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足V2an-Van+1+an=-2n（n∈N*），求数列{an}的通项公式．

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    （2012•桂林一模）对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．规定{△2an}为{an}的二阶差分数列，其中△2an=△an+1-△an．
    （Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=n2+n(n∈N*)，试判断{△an}，{△2an}是否为等差或等比数列，并说明理由；
    （Ⅱ）若数列{an}首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．

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