Question

已知函数f（x）=Acos²（ωx+φ}）+1（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）=

 

．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,余弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=

A

2

cos（2ωx+2φ）+1+

A

2

，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．

解答： 解：∵函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1=A•

1+cos(2ωx+2φ)

2

+1
=

A

2

cos（2ωx+2φ）+1+

A

2

 （A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最大值为3，
∴

A

2

+1+

A

2

=3，∴A=2．
根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即

2π

2ω

=4，∴ω=

π

4

．
再根据f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得 cos（2φ）+1+1=2，
∴cos2φ=0，2φ=

π

2

，∴φ=

π

4

．
故函数的解析式为 f（x）=cos（

π

2

x+

π

2

）+2=-sin

π

2

x+2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=-（sin

π

2

+sin

2π

2

+sin

3π

2

+…+sin

2014π

2

+sin

2015π

2

）+2×2015
=503×0-sin

π

2

-sin

2π

2

-sin

3π

2

+4030=0+4030=4030，
故答案为：4030．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，二倍角的余弦公式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，三角函数的周期性，属于中档题．