Question

18．在一段时间内，某种商品的价格x（元）和需求量y（件）之间的一组数据如表所示：

价格x/元	14	16	18	20	22
需求量y/件	56	50	3	1	37

（1）求出y关于x的线性回归方程；
（2）请用R²和残差图说明回归方程拟合效果的好坏．
参考数据：回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x，R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\widehat{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$
参考数据：$\sum_{i=1}^5{x_i^2=1660}$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=3992．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b，在根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出a的值．
（2）求出回归模型的相关系数，作出残差图，可判断回归模型拟合效果的好坏．

解答 解：（1）由题表中数据可得$\overline x=18$，$\overline y=45.4$．
由计算公式得$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-5\overline x\;•\;\overline y}}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2-5{{\overline x}^2}}}}=\frac{3992-5×18×45.4}{{1660-5×{{18}^2}}}=-2.35$．$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=45.4+2.35×18=87.7$．
故y关于x的线性回归方程为$\hat y=-2.35x+87.7$．
（2）列表：

编号	1	2	3	4	5
${y_i}-{\hat y_i}$	1.2	-0.1	-2.4	0.3	1
${y_i}-\overline y$	10.6	4.6	-2.4	-4.4	-8.4

所以$\sum_{i=1}^5{{{（{y_i}-{{\hat y}_i}）}^2}}=8.3$，$\sum_{i=1}^5{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}=229.2$，
相关指数${R^2}=1-\frac{{\sum_{i=1}^5{{{（{y_i}-{{\hat y}_i}）}^2}}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}}=1-\frac{8.3}{229.2}≈0.964$．
因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果好．
残差图如图：

残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．

点评 本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，属于中档题．