Question

若二次函数满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[-1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求解．由二次函数可设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c值，由f（x+1）-f（x）=2x可得a，b的值，从而问题解决；
（2）欲使在区间[-1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x²-3x+1-m＞0，也就是要x²-3x+1-m的最小值大于0即可，最后求出x²-3x+1-m的最小值后大于0解之即得．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1，
∴c=1，∴f（x）=ax²+bx+1
∵f（x+1）-f（x）=2x，∴2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

∴

a=1 b=-1

∴f（x）=x²-x+1（5分）
（2）由题意：x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，
即x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立g(x)=x2-3x+1-m=(x-

3

2

)2-

5

4

-m
其对称轴为x=

3

2

，∴g（x）在区间[-1，1]上是减函数，
∴g（x）_min=g（1）=1-3+1-m＞0，
∴m＜-1（10分）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．