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    设向量a＝(x＋1，y)，b＝(x－1，y)，点P(x，y)为动点，已知|a|＋|b|＝4.

    （Ⅰ）求点P的轨迹方程；

    （Ⅱ）设点P的轨迹与x轴负半轴交于点A，过点F(1，0)的直线交点P的轨迹于B、C两点，试推断△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由.

    （Ⅰ）（Ⅱ）△ABC的面积存在最大值，其最大值为


    解析:

    （Ⅰ）由已知，                         （1分）

    所以动点P的轨迹M是以点为焦点，长轴长为4的椭圆.            （3分）

    因为，则.                                          （4分）

    故动点P的轨迹M的方程是.                                       （5分）

    （Ⅱ）设直线BC的方程为，

    由.                                  （6分）

    设点，则，.              （7分）

    所以

    .                      （8分）

    由题设，点A的坐标是(－2，0)，则点A到直线BC的距离.           （9分）

    所以.

    令，则.                               （10分）

    设，则.因为当时，，则函数在上是增函数.                                                                （11分）

    所以当时，，从而，所以.              （12分）

    故△ABC的面积存在最大值，其最大值为.                                    （13分）

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