Question

（坐标系与参数方程选做题） 若直线l：x-

3

y=0与曲线C：

x=a+ 2 cos? y= 2 sin?

（?为参数，a＞0）有两个公共点A，B，且|AB|=2，则实数a的值为______；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C的极坐标方程为______．

Answer 1

由曲线C：

x=a+ 2 cos? y= 2 sin?

（?为参数，a＞0），可得

2

cos∅=x-a，

2

sin∅=y，
平方相加可得 （x-a）²+y²=2 ①，表示以C（a，0）为圆心，以

2

为半径的圆，
圆心C到直线l：x-

3

y=0的距离等于d=

|a- 3 ×0|

1+3

=

a

2

，
再由弦长公式可得

|AB|

2

=1=

r2-d2

=

2- a2 4

，解得a=2．
①即 （x-2）²+y²=2 ②，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入②，化简可得 ρ²-4ρcosθ+2=0，
故答案为 2，ρ²-4ρcosθ+2=0．