Question

△ABC中，已知

3

tanAtanB-tanA-tanB=

3

，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．
（1）求∠C的大小；
（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中

3

tanAtanB-tanA-tanB=

3

，变形可得

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

，由两角和的正切公式，我们易得到A+B的值，进而求出∠C的大小；
（2）由c=2，且△ABC是锐角三角形，再由正弦定理，我们可以将a²+b²转化为一个只含A的三角函数式，根据正弦型函数的性质，我们易求出a²+b²的取值范围．

解答：解：（1）依题意：

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

，即tan(A+B)=-

3

，
又0＜A+B＜π，
∴A+B=

2π

3

，∴C=π-A-B=

π

3

，
（2）由三角形是锐角三角形可得

A＜ π 2 B＜ π 2

，
即

π

6

＜A＜

π

2

由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

∴a=

c

sinC

×sinA=

4

3

sinA，b=

4

3

sinB=

4

3

sin(

2π

3

-A)
，a2+b2=

16

3

[sin2A+sin2(

2π

3

-A)]=f(A)，
a2+b2=

16

3

[sin2A+sin2B]=

16

3

[

1

2

(1-cos2A)+

1

2

(1-cos2B)]
=

16

3

-

8

3

(cos2A+cos2B)=

16

3

-

8

3

[cos2A+cos(

4π

3

-2A)]
=

16

3

-

8

3

[cos2A+(-

1

2

)cos2A+(-

3

2

)sin2A]
=

16

3

-

8

3

[

1

2

cos2A-

3

2

sin2A]
=

16

3

+

8

3

sin(2A-

π

6

)，
∵

π

6

＜A＜

π

2

，∴

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，即

20

3

＜a2+b2≤8

点评：本题考查的知识点是解三角形及两角和与差的正切函数，熟练掌握两角和（差）的正弦、余弦、正切函数式及其变形，是解答本题的关键．