Question

3．若kx²-（2k+1）x-3=0在（-1，1）和（1，3）内各有一实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 设f（x）=kx²-（2k+1）x-3，根据一元二次方程根的分布建立不等式关系即可．

解答 解：设f（x）=kx²-（2k+1）x-3，
∵kx²-（2k+1）x-3=0在（-1，1）和（1，3）内各有一实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{f（-1）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（3）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{f（-1）＜0}\\{f（1）＞0}\\{f（3）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{k+2k+1-3＞0}\\{k-2k-1-3＜0}\\{9k-6k-3-3＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{k+2k+1-3＜0}\\{k-2k-1-3＞0}\\{9k-6k-3-3＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{k＞\frac{2}{3}}\\{k＞-4}\\{k＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{k＜\frac{2}{3}}\\{k＜-4}\\{k＜2}\end{array}\right.$，解得k＞2或k＜-4，
即实数k的取值范围是k＞2或k＜-4．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，将方程转化为函数，结合一元二次方程根的分布是解决本题的关键．