Question

求证：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

Answer 1

证明：由于|x|＜1，n≥2，n∈N．
当n=2时，（1+x）²+（1-x）²=2+2x²＜4=2²，当n=2时成立
假设n=k时成立，即（1+x）^k+（1-x）^k＜2^k成立
当n=k+1时，则：（1+x）^k+1+（1-x）^k+1=（1+x）^k×（1+x）+（1-x）^k×（1-x）=（1+x）^k+x（1+x）^k+（1-x）^k-x（1-x）^k＜2^k+x[（1+x）^k-（1-x）^k]
=2^k+x（2C_k¹x+2C_k³x³+…）=2^k+（2C_k¹+2C_k³+…）=2^k+2^k=2^k+1，
故当n=k+1时，不等式也成立
综上知：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N成立
分析：用数学归纳法证明这个不等式，先验证n=2时成立，再假设n=k时成立，证明n=k+1时成立即可
点评：本题考查用数学归纳法证明不等式，求解本问题的关键是掌握数学归纳法证明的原理，先证初始值成立，再假设n=k时成立，然后证n=k+1时成立．