Question

17．若二次函数f（x）=x²+1的图象与曲线C：g（x）=ae^x+1（a＞0）存在公共切线，则实数a的取值范围为（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]．

Answer 1

分析 设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：f（x）=x²+1的导数为f′（x）=2x，g（x）=ae^x+1的导数为g′（x）=ae^x，
设公切线与f（x）=x²+1的图象切于点（x₁，x₁²+1），
与曲线C：g（x）=ae^x+1切于点（x₂，ae^x₂+1），
∴2x₁=ae^x₂=$\frac{a{e}^{{x}_{2}}+1-（{{x}_{1}}^{2}+1）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{a{e}^{{x}_{2}}-{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
化简可得，2x₁=$\frac{2{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，得x₁=0或2x₂=x₁+2，
∵2x₁=ae^x₂，且a＞0，∴x₁＞0，则2x₂=x₁+2＞2，即x₂＞1，
由2x₁=ae^x₂，得a=$\frac{2{x}_{1}}{{e}^{{x}_{2}}}$=$\frac{4（{x}_{2}-1）}{{e}^{{x}_{2}}}$，
设h（x）=$\frac{4（x-1）}{{e}^{x}}$（x＞1），则h′（x）=$\frac{4（2-x）}{{e}^{x}}$，
∴h（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，
∴h（x）_max=h（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
∴实数a的取值范围为（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]，
故答案为：（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]．

点评 本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．