Question

【题目】已知函数只有一个零点，且这个零点为正数，则实数的取值范围是____．

Answer 1

【答案】

【解析】

先运用导数得出函数的单调性和单调区间，再结合函数图象求出a的取值范围．

解：令＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，

其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：

x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．

因此，f（x）在x＝﹣a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，

结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足：

f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，

整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），

故答案为：（1，2）