Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F（1，0）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）命题：“过抛物线C的焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值是2”．判断它是真命题还是假命题，并说明理；
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（注，不必证明）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程，利用抛物线的焦点F（1，0），确定p的值，从而可得抛物线C的方程；
（Ⅱ）命题是真命题．设直线AB的方程代入y²=4x，利用韦达定理确定线段AB中点的坐标，从而可得线段AB的垂直平分线的方程，进而可得M的坐标，结合抛物线的定义，即可证得结论；
（Ⅲ）过抛物线的焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值是2．

解答：解：（Ⅰ）设抛物线C的方程为y²=2px（p＞0）；
∵抛物线的焦点F（1，0），
∴

p

2

=1，∴p=2
∴抛物线C的方程为y²=4x；…（3分）
（Ⅱ）命题是真命题，证明如下：…（4分）
设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0）
代入y²=4x，消去x得ky²-4y-4k=0，…（5分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则y1+y2=

4

k

，y1•y2=-4…（6分）
∴x1+x2=

1

4

(

y

2 1

+

y

2 2

)=

1

4

[(

y

1

+

y

2

)2-2

y

1

y

2

]=

1

4

(

16

k2

+8)=

4

k2

+2
∴线段AB中点P(

2

k2

+1，

2

k

)…（7分）
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-

2

k

=-

1

k

(x-

2

k2

-1)
令y=0，解得x=3+

2

k2

，即M(3+

2

k2

，0)，∴|FM|=

2

k2

+2…（8分）
由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+p=

4

k2

+4…（9分）
∴

|AB|

|FM|

=2，证明完毕   …（10分）
（Ⅲ）过抛物线的焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值是2．…（12分）
（注：如果考生给出“抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|

|FM|

为定值，且定值是2”等，照样给分．）

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．