Question

5．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0且bc≠0）．
（Ⅰ）若|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，试求f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为l，且0＜l≤2，试比较b、c的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得（a+b+c）²=（a-b+c）²，得4b（a+c）=0，|c|=1，结合条件即可得到a，b，c，进而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）g（1）=0，可得2a+b=0，设方程f（x）=0的两根为x₁，x₂，运用韦达定理，以及弦长公式，求得$0≤\frac{c}{a}＜1$．进而得到b，c的大小．

解答 解：（Ⅰ）由已知|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，
有|a+b+c|=|a-b+c|⇒（a+b+c）²=（a-b+c）²，得4b（a+c）=0．
∵bc≠0，∴b≠0，∴a+c=0，由a＞0知，c＜0，
∵|c|=1，∴c=-1．      
则a=1，b=±1．
∴f（x）=x²+x-1或f（x）=x²-x-1．         
（Ⅱ）g（x）=2ax+b，由g（1）=0且a＞0，
知2a+b=0，b＜0且a＞0，
设方程f（x）=0的两根为x₁，x₂，
则${x_1}+{x_2}=-\frac{b}{a}=2$，${x_1}{x_2}=\frac{c}{a}$，
∴$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{4-4•\frac{c}{a}}$，
由已知0＜|x₁-x₂|≤2，∴$0≤\frac{c}{a}＜1$．
又∵a＞0，bc≠0，
∴c＞0，又b＜0，
∴c＞0＞b．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查两数大小的比较，注意运用韦达定理和不等式的性质，属于中档题．