Question

如图所示，凸多面体ABCED中，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，
BC=，CE=2，F为BC的中点．
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BCE．

Answer 1

证明：（1）取BE的中点G，连接GF，GD，∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴AD∥EC，且平面ABC⊥平面ACED，
∵GF为三角形BCE的中位线，∴GF∥EC∥DA，GF=CE=DA，
∴四边形GFAD为平行四边形，∴AF∥GD，又GD?平面BDE，AF∥平面BDE．
（2）∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．
分析：（1）取BE的中点G，利用GF为三角形BCE的中位线，证明四边形GFAD为平行四边形，从而证明AF∥平面BDE．
（2）先证AF⊥平面BCE，由AF∥GD可得GD⊥平面BCE，进而证明平面BDE⊥平面BCE．
点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，取BE的中点G，证明四边形GFAD为平行四边形，是解题的关键．