Question

三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形且垂直于底面，∠A₁AB＝60°，M是A₁B₁中点．

(1)求证：BM⊥AC．

(2)求二面角B－B₁C₁－A₁的正切值．

(3)求三棱锥M－A₁CB的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵ABB1A1是菱形，∠A1AB＝60°，则△A1B1B是正三角形． 　　又∵M是A1B1中点， 　　∴BM⊥A1B1． 　　又∵平面AA1B1B⊥平面A1B1C， 　　∴BM⊥平面A1B1C1， 　　∴BM⊥A1C1， 　　又∵AC∥A1C1， 　　∴BM⊥AC． 　　(2)过M作ME⊥B1C1且交于点E， 　　∵BM⊥平面A1B1C1， 　　∴BE⊥B1C1， 　　∴∠BEM为所求二面角的平面角． 　　在△A1B1C1中，ME＝MB1sin60°＝a， 　　Rt△BMB1中，MB＝BB1sin60°＝a， 　　∴tan∠BEM＝＝2，∴所求二面角的正切值为2． 　　(3)VM－A1CB＝VB1－A1CB＝VA－A1CB＝VA－ABC 　　＝×a3．

提示：

本题考查空间的垂直关系，空间角及几何体的计算问题．注意运用三垂线定理作证二面角的平面角，以及等积变换法求几何体的体积．