Question

已知椭圆的离心率为，

轴被抛物线截得的线段长等于的长半轴长.

（1）求的方程；

（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线

与相交于两点，直线分别与相交于.   

①证明：为定值;

②记的面积为，试把表示成的函数，并求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）利用直线与抛物线以及直线于椭圆联立方程组来求解向量的坐标，利用数量积为零来证明垂直。当，即时，

【解析】

试题分析：解：（1）由已知，，      ①           

在中，令，得②

由①②得，

                           

(2)由得

设，则             

而

  

 

（3）设在上，

即，，直线方程为：代入， 得，

，同理

由（2）知，，

令，

又在时，为增函数，，

当，即时，

考点：直线与抛物线，椭圆的位置关系

点评：解决的关键是利用抛物线的性质和椭圆的性质得到方程的求解，以及联立方程组来得到坐标，结合向量的数量积为零证明垂直，属于基础题。