Question

定义:若对于给定区间D内任意的实数x₁和x₂,都有f()≥［f(x₁)+f(x₂)］,则称函数f(x)是区间D上的上凸函数.上凸函数有如下的性质:

若在上凸函数f(x)的图象上依次取n个(n≥3)点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n),则凸n边到P₁P₂P₃…P_n的重心G()必在函数y=f(x)的图象下方或图象上.

运用上述定义或性质证明.

(1)f(x)=lgx在区间(0,+∞)上是上凸函数;

(2)设x₁,x₂,…,x_n为正实数,则.

Answer 1

解析：第(1)小题可根据上凸函数的定义证明;?第(2)?小题需要先构造一个上凸函数〔可利用第(1)小题的结论〕,然后再根据上凸函数的性质加以证明.

证明：(1)设x₁,x₂,…,x_n为正实数,则

f()［f(x₁)+f(x₂)］=lg (lgx₁+lgx₂)=lg=lg.

∵x₁,x₂,…,x_n为正实数,

∴x₁+x₂≥,即≥1.

又y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴lg()≥0.

∴f()≥［f(x₁)+f(x₂)］.

根据定义,函数y=lgx是区间(0,+∞)上的上凸函数.

(2)由(1)知,f(x)=lgx在区间(0,+∞)上是上凸函数.

设P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n)依次是上凸函数y=lgx上的n个(n≥3)点,根据上凸函数的性质,有

［f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)］,

即lg(x₁x₂…x_n),

亦即.

∵y=lgx在(0,+∞)上是增函数,∴.