Question

15．已知集合A={x|2x²-7x+3≤0}，集合B={x|x²-a＜0，a∈R}．
（1）若a=4，求A∩B和A∪B．
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，B，即可求A∩B和A∪B．
（2）若A∩B=∅，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵A={x|2x²-7x+3≥0}={x|（2x-1）（x-3）≥0}={x|x≥3，或x≤$\frac{1}{2}$}，
当a=4时，B={x|x²-4＜0}={x|-2＜x＜2}，
∴A∩B={x|-2＜x≤$\frac{1}{2}$}，A∪B={x|x＜2，或 x≥3}．
（2）当a≤0时，B=∅，满足A∩B=∅；
当a＞0时，B={x|x²-a＜0}={x|-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$ }，
由A∩B=∅，可得$\sqrt{a}$≤$\frac{1}{2}$，解得 a≤$\frac{1}{4}$．
综上可得，a≤$\frac{1}{4}$，即实数a的取值范围为（-∞，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查集合的化简与运算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．